房屋租赁期间，热水器由于自然老化损坏，应该由出租人即房东负责。

根据《合同法》的规定，承租人按照约定的方法或者租赁物的性质使用租赁物，致使租赁物受到损耗的，不承担损害赔偿责任。所以，在租赁期间，热水器由于自然老化损坏的，应该由出租人即房东负责，承租人没有责任。

相关依据来自《合同法》：

第二百一十八条：承租人按照约定的方法或者租赁物的性质使用租赁物，致使租赁物受到损耗的，不承担损害赔偿责任。

第二百一十九条：承租人未按照约定的方法或者租赁物的性质使用租赁物，致使租赁物受到损失的，出租人可以解除合同并要求赔偿损失。